Khảo sát hàm số - giải tích 1

By QLamXmaster , Leave a Comment
1. Phương trình tham số của đường cong:
Cho hai hàm số: \left \{ \begin{array}{c} {x = x(t) \qquad (1)} \\{y = y(t) \qquad (2)} \end{array} \right.
Khi t thay đổi, điểm \text{M(x(t), y(t))} vẽ nên đường cong (C) trong mặt phẳng tọa độ (Oxy).
Nếu từ (1) ta giải được t theo x ( t = t(x)) rồi thế vào (2) thì ta sẽ có phương trình của đường cong (C) : y = f(x).
Các hàm số {(1), (2)} được gọi là phương trình tham số của đường cong (C).
Ví dụ 1: Xét hyperbol (H): { \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} =1}
Vì hiệu bình phương của { \dfrac{x}{a}} , { \dfrac{y}{b}} bằng 1, nên có thể coi chúng là cht và sht:
\dfrac{x}{a} = cht , \dfrac{y}{b} = sht , t \in \mathbb R
Vậy ta có phương trình tham số của Hyperbol là:
\fbox {x = a.cht ; y = b.sht}
Ví dụ 2: Xicloit là quỹ đạo của một điểm M nằm trên một đường tròn bán kính a khi vòng tròn đó lăn không trượt trên một đường thẳng.
Giả sử vòng tròn lăn về phía hướng dương của trục Ox (và lăn trên trục hoành) , vị trí ban đầu của M trùng với gốc tọa độ O.
cycloidanim04.gif
Khi đó, ta dễ dàng xác định được phương trình tham số của quỹ đạo điểm M là:
\fbox {x = a.(t \!- sint) \qquad; \qquad y = a.(1 \!- cost)}
2. Khảo sát đường cong cho bằng tham số:
Việc khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong tham số tiến hành tương tự như đã làm đối với đường cong có phương trình y = f(x) . Gồm các bước sau đây:
  1. Tìm miền xác định, tính chẵn lẻ, tuần hoàn.
  2. Khảo sát và lập bảng biến thiên:
    • Tính đạo hàm { \dfrac{{dy}}{{dx}} = \dfrac{{{y'}_t}}{{{x'}_t}} = \dfrac{\dot{y}}{\dot{x}} } \qquad (3)
    • Tìm các giá trị của tham số t sao cho tại đó ít nhất một trong các đạo hàm \dot{x} = x_{t}^{'} hay \dot{y} = y_{t}^{'} triệt tiêu. (nếu tồn tại t_0 sao cho \dot{x}(t_{0}) = x_{t}^{'}(t_0) = 0 , \dot{y}(t_{0}) = y_{t}^{'}(t_0) = 0 thì điểm M(x_0 , y_0) là điểm kỳ dị, với x_0 = x(t_0) , y_0 = y(t_0) ).
    • Mỗi khoảng (t_k , t_{k+1}) tương ứng với khoảng (x_k , x_{k+1}) sẽ xác định dấu của y'(x).
    • Tính đạo hàm cấp 2:
    { \dfrac{d^{2}y}{dx^2}} = { \dfrac{y''(t).x'(t) - x''(t).y'(t)}{{[x'(t)]}^3}} = { \dfrac{{\ddot{y}}.{\dot{x}} - {\ddot{x}}.{\dot{y}}}{{\dot{x}}^3} } \qquad (4)
  3. Từ (4) ta tìm các giá trị để đạo hàm cấp 2 triệt tiêu, từ đó xác định khoảng lồi, lõm của đường cong.
  4. Tìm tiệm cận của đường cong:
  • Nếu lim_{t \to t_0} x(t) = a , \lim_{t \to t_0} y(t) = \infty thì x = a là tiệm cận đứng.
  • Nếu lim_{t \to t_0} x(t) = \infty , \lim_{t \to t_0} y(t) = b thì y = b là tiệm cận ngang.
  • Nếu khi t \to t_0 , x \to \infty , y \to \infty và:
lim_{t \to t_0} \frac{y(t)}{x(t)} = a , lim_{t \to t_0} [y(t) \! - ax(t) ] = b
thì y = ax + b là tiệm cận xiên.
3. Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đường cong cho bởi phương trình:
\left \{ \begin{array}{c} {x = acos^{3}t} \\{y = asin^{3}t} \end{array} \right.
Các hàm số x(t), y(t) xác định với mọi t.
Nhưng vì các hàm số acos^{3}t, asin^{3}t là các hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2\pi nên ta chỉ cần khảo sát với t nằm trong đoạn [0;2\pi ].
Do đó, khoảng biến thiên của x là đoạn [-a; a] và khoảng biến thiên của y là đoạn [-a; a].
Vậy đường cong được khảo sát không có tiệm cận.
Xét khoảng biến thiên. Ta có:
x_t^{'} = -3acos^{2}tsint = 0 khi t=0, { \frac{ \pi}{2} }, \pi , { \frac{3 \pi}{2} } ,2\pi
y_t^{'} = 3asin^{2}tcost khi t=0, { \frac{ \pi}{2} }, \pi , { \frac{3 \pi}{2} } ,2\pi
y_{x}^{'} = -tg t = 0 khi t = 0, \pi , 2\pi y_{x}^{'} = \infty tại { \dfrac{\pi}{2}} , { \dfrac{3\pi}{2}}
Ta có bảng biến thiên sau:
\begin{array}{c| c c c c c c c c c} \hline t & 0 & \quad & {\pi}/2 & \quad & {\pi} & \quad & 3{\pi}/2 & \quad & 2{pi} \\ \hline x't & 0 & - & 0 & - & 0 & + & 0 &+ & 0 \\ \hline x & a & \searrow & 0 & \searrow & -a & \nearrow & 0 & \nearrow & a \\ \hline y't & 0 & + & 0 & - & 0 & - & 0 & + & 0 \\ \hline y & 0 & \nearrow & a & \searrow & 0 & \searrow & -a & \nearrow & 0 \\ \hline \ y'x & 0 & - & || & + & 0 & - & || & + & 0 \\ \hline \end{array}
Tính đạo hàm cấp hai ta có:
\ddot{y} = 6a.cost.sin^{2}t - 3a.cos^{3}t
\ddot{x} = 6a.sint.cos^{2}t - 3a.sin^{3}t
Do đó:
{ \dfrac{d^{2}y}{dx^2}} = { \dfrac{{\ddot{y}}.{\dot{x}} - {\ddot{x}}.{\dot{y}}}{{\dot{x}}^3} } = { \dfrac{1}{3a.cos^{4}t.sint}}
Nhận thấy:
Khi 0 < t < \pi : thì đường cong lõm
Khi \pi < t < 2{\pi} : thì đường cong lồi
Lại có:
Khi 0 \le t \le {\pi}/2 : thì x \ge 0 , y \ge 0 nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ nhất
Khi {\pi}/2 \le t \le {\pi} : thì x \le 0 , y \ge 0 nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ hai.
Khi {\pi} \le t \le 3.{\pi}/2 : thì x \le 0 , y \le 0 nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ ba.
Khi 3{\pi}/2 \le t \le 2.{\pi} : thì x \ge 0 , y \le 0 nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ tư.
Từ những dữ liệu trên ta sẽ có đường cong (C) trong mặt phằng là đường màu đỏ trong hình sau:
astroid01.gif

Phương trình đường cong (C) có được bằng cách lăn đường tròn nhỏ, bán kính a/4 bên tròn đường tròn lớn, bán kính a theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ điểm (1;0)
Xem Tiếp

Cách đánh trọng âm ( Stress ) trong tiếng Anh

By QLamXmaster Leave a Comment
1.  Động từ có 2 âm tiết -> trọng âm rơi vào âm tiết thứ hai
Ex: be’gin, be’come, for’get, en’joy, dis’cover, re’lax, de’ny, re’veal,…
Ngoại lệ: ‘answer, ‘enter, ‘happen, ‘offer, ‘open…
2. Danh từ có 2 âm tiết -> trọng âm rơi vào âm tiết thứ nhất
Ex: ‘children, ‘hobby, ‘habit, ‘labour, ‘trouble, ‘standard…
Ngoại lệ: ad’vice, ma’chine, mis’take…

3. Tính từ có 2 âm tiết -> trọng âm rơi vào âm tiết thứ nhât
Ex: ‘basic, ‘busy, ‘handsome, ‘lucky, ‘pretty, ‘silly…
Ngoại lệ: a’lone, a’mazed, …
4.  Động từ ghép -> trọng âm rơi vào âm tiết thứ hai
Ex: be’come, under’stand,
5. Trọng âm rơi vào chính các vần sau: sist, cur, vert, test, tain, tract, vent, self
Ex: e’vent, sub’tract, pro’test, in’sist, main’tain, my’self, him’self
6. Các từ kết thúc bằng các đuôi : how, what, where, …. thì trọng âm chính nhấn vào vần 1 :
‘anywhere ‘somehow ‘somewhere ….

7. Các từ 2 âm tiết bắt đầu bằng A thì trọng âm nhấn vào âm tiết thứ 2 :
A’bed a’bout a’bove a’back a’gain a’lone a’chieve a’like
A’live a’go a’sleep a’broad a’side a’buse a’fraid

8. Các từ tận cùng bằng các đuôi , – ety, – ity, – ion ,- sion, – cial,- ically, – ious, -eous, – ian, – ior, – iar, iasm – ience, – iency, – ient, – ier, – ic, – ics, -ial, -ical, -ible, -uous, -ics*, ium, – logy, – sophy,- graphy – ular, – ulum , thì trọng âm nhấn vào âm tiết ngay tru­ớc nó :
de’cision dic’tation libra’rian ex’perience ‘premier so’ciety arti’ficial su’perior ef’ficiency re’public mathe’matics cou’rageous fa’miliar con’venient
Ngoại trừ : ‘cathonic , ‘lunatic  , ‘arabic (ả rập) , ‘politics (chính trị học) a’rithmetic (số học)

9. Các từ kết thúc bằng – ate, – cy*, -ty, -phy, -gy nếu 2 vần thì trọng âm nhấn vào từ thứ 1. Nếu 3 vần hoặc trên 3 vần thì trọng âm nhấn vào vần thứ 3 từ cuồi lên
‘Senate Com’municate ‘regulate ‘playmate cong’ratulate ‘concentrate ‘activate ‘complicate, tech’nology, e`mergency, ‘certainty ‘biology phi’losophy
Ngoại trừ: ‘Accuracy

10. Các từ tận cùng bằng đuôi – ade, – ee, – ese, – eer, – ette, – oo, -oon , – ain (chỉ động từ), -esque,- isque, -aire ,-mental, -ever, – self thì trọng âm nhấn ở chính các đuôi này :
Lemo’nade  Chi’nese  deg’ree  pion’eer  ciga’rette  kanga’roo  sa’loon  colon’nade  Japa’nese  absen’tee  engi’neer  bam’boo  ty’phoon ba’lloon Vietna’mese  refu’gee  guaran’tee  muske’teer  ta’boo  after’noon  ty’phoon, when’ever  environ’mental
Ngoại trừ: ‘coffee (cà phờ), com’mitee (ủy ban)…

11. Các từ chỉ số l­uợng nhấn trọng âm ở từ cuối kết thúc bằng đuôi – teen . ng­ược lại sẽ nhấn trọng âm ở từ đầu tiên nếu kết thúc bằng đuôi – y :
Thir’teen four’teen………… // ‘twenty , ‘thirty , ‘fifty …..

12. Các tiền tố (prefix) và hậu tố không bao giờ mang trọng âm , mà thu­ờng nhấn mạnh ở từ từ gốc :
- Tiền tố không làm thay đổi trọng âm chính của từ:
UN- im’portant unim’portant
IM- ‘perfect im’perfect
IN- Com’plete incom’plete
IR- Re’spective irre’spective
DIS- Con’nect discon’nect
NON- ‘smokers non’smokers
EN/EX- ‘courage en’courage
RE- a’rrange rea’rrange
OVER- ‘populated over’populated
UNDER- de’veloped underde’veloped
Ngoại lệ: ‘Understatement: lời nói nhẹ đi(n) ‘Underground:ngầm (adj)

13. Hậu tố không làm thay đổi trọng âm của từ gốc:

FUL‘beauty‘beautiful
LESS‘thought‘thoughtless
ABLEen’joyen’joyable
ALtra’ditiontra’ditional
OUS‘danger‘dangerous
LYdi’rectdi’rectly
ER/OR/ANT‘worker / ‘actor
NG/IVEbe’ginbe’ginning

ISE/ IZE‘memorize
EN‘widen
MENTem’ployment
NESS‘happiness
SHIP‘friendship
HOODchildhood
14. Từ có 3 âm tiết:
a. Động từ:
- Trọng âm rơi vào âm tiết thứ 2 nếu âm tiết thứ 3 có nguyên âm ngắn và kết thúc bằng 1 phụ âm:
Eg: encounter /iŋ’kauntə/ determine /di’t3:min/
- Trọng âm sẽ rơi vào âm tiết thứ nhất nếu âm tiết thứ 3 là nguyên âm dài hay nguyên âm đôi hay kết thúc bằng 2 phụ âm trở lên: exercise / ‘eksəsaiz/, compromise/ ['kɔmprəmaiz]
Ngoại lệ: entertain /entə’tein/ compre’hend ……..

b. Danh từ:
- Nếu âm tiết cuối (thứ 3) có nguyên âm ngắn hay nguyên âm đôi “əu”
- Nếu âm tiết thứ 2 chứa nguyên âm dài hay nguyên âm đôi hay kết thúc bằng 2 phụ âm trở lên ® thì nhấn âm tiết thứ 2
Eg: potato /pə`teitəu/ diaster / di`za:stə/
- Nếu âm tiết thứ 3 chứa nguyên âm ngắn và âm tiết thứ 2 chứa nguyên âm ngắn và âm tiết thứ 2 kết thúc bằng 1 phụ âm ® thì nhấn âm tiết thứ 1:
Eg: emperor / `empərə/ cinema / `sinəmə/ `contrary `factory………
- Nếu âm tiết thứ 3 chứa nguyên âm dài hoặc nguyên âm đôi hoặc kết thúc bằng 2 phụ âm trở lên ® thì nhấn âm tiết 1
Eg: `architect……………………………………….
Chú ý : tính từ 3 âm tiết tương tự như danh từ
Xem Tiếp

PRONUNCIATION (Cách phát âm)

By QLamXmaster Leave a Comment

PRONUNCIATION (Cách phát âm)

I. CÁCH PHÁT ÂM -S/-ES
- Có 3 cách phát âm –s hoặc –es tận cùng.
* đọc thành âm /iz/ với những từ có âm cuối là / s, z, ∫, t∫, d /
* đọc thành âm /s/ với những từ có âm cuối là / p, t, k, f, θ /
* đọc thành âm /z/ với những trường hợp còn lại
- Examples:
* /iz/: buses, watches, roses, washes, boxes…..
* /s/: maps, books, hats, coughs, laughs, photographs ….
* /z/: bells, eyes, plays ….
 
II. CÁCH PHÁT ÂM –ED
- Có 3 cách phát âm –ed tận cùng.
* đọc thành âm /id/ với những từ có âm cuối là / t, d /
* đọc thành âm /t/ với những từ có âm cuối là /p, f, k, s, ∫, t∫, θ /
* đọc thành âm /d/ với những trường hợp còn lại
- Examples:
* /id/: wanted, needed, prevented, confided ….
* /t/: looked, stopped, laughed, coughed, sacrificed…..
* /d/: played, seemed, planned…….
 
III. TRỌNG ÂM CỦA NHỮNG TỪ CÓ HAI ÂM TIẾT
- Trọng âm chỉ được đặt trên từ gốc. Phần được hem vào (tiếp đầu ngữ hay tiếp vĩ ngữ) không được tính là vần/âm tiết.
1. Danh từ và tính từ:
- Trọng âm được đặt ở vần đầu
Ex: ‘table, ‘happy, ‘lucky, ‘weather……
- Một số danh từ có trọng âm ở từ gốc
Ex: de’sign, be’lief, ac’cept, de’mand………..
- Danh từ tận cùng –OO hay –OON: trọng âm đặt trên vần này
Ex: after’noon, bam’boo, bal’loon……..
2. Động từ:
- động từ tận cùng bằng –OW, -EN, -Y, -EL, -LE, -ISH: trọng âm ở vần thứ nhất
Ex: ‘follow, ‘finish, ‘carry, ‘suffer, ‘harden, ‘answer………
- động từ tận cùng bằng –ATE: trọng âm đặt ở vần hai
Ex: trans’late, cre’ate……..
 
3. Từ hai vần vừa là danh từ vừa là động từ:
a. Trọng âm được đặt ở vần thứ nhất khi chúng là danh từ
Ex: ‘record, ‘object……
IV.               Trọng âm được đặt ở vần thứ hai khi chúng là động từ
Ex: re’cord, ob’ject……
Note: Không phải tất cả các từ hai vần vừa là danh từ vừ là động từ đều theo qui tắt này
-          Một số từ có trọng âm ở vần thứ nhất: purchase, promise, sorrow……..
-          Một số từ có trọng âm ở vần thứ hai: regret, surprise, control…….
4. Giới từ: trọng âm được đặt ở từ gốc
Ex: be’hind, be’fore, a’bove……..
5. Từ ghép:
- Danh từ: trọng âm thường đặt ở từ đầu
Ex: ‘baseball, ‘schoolbag, ‘drugstore…..
- Tính từ: trọng âm thường đặt ở vần thứ hai
Ex: good-‘looking, bad-‘tempered, old-‘fashioned
6. Đại từ phản thân: trọng âm đặt ở vần “self / selves”
Ex: my’self, him’self, them’selves
 
IV. TRỌNG ÂM CỦA NHỮNG TỪ CÓ BA ÂM TIẾT
- Những từ có hậu tố là: -ade, -ee, -ese, -ette, -ique, -eer, -ain thì trọng âm chính rơi vào ngay âm tiết đó
Ex: lemo’nade, ciga’rette, Vietna’mese, …
- Âm tiết liền trước các hậu tố -tion, thường nhận trọng âm
Ex:, trans’lation
- Từ tận cùng bằng –ate thường đặt ở âm thứ 3 tính từ cuối
Ex: ‘generate, cer’tificate, cong’ratulate
 
V. TRỌNG ÂM CỦA NHỮNG TỪ CÓ BA ÂM TIẾT TRỞ LÊN
- Âm tiết liền trước các hậu tố -ical, -ual, -ian, -ical, -ity, -graphy, -ics, -logy thường nhận trọng âm
Ex: eco’nomic, uni’versity, poli’tician, soci’ology, mathe’matics
- Đặt ở âm thứ 2 trước các hậu tố -ize, -ary
Ex: ‘modernize, ‘dictionary, i’maginary
Xem Tiếp