Showing posts with label Toán. Show all posts

Dấu hiệu nhận biết số chia hết

Dấu hiệu nhận biết số chia hết cho 2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,15,18

1/. Dấu hiệu chia hết cho 2 :
Các chữ số tận cùng là : 0;2;4;6;8 thì chia hết cho 2.
Hoặc : Các số chẵn thì chia hết cho 2
Chú ý : Các số tận cùng là 1;3;5;7;9 thì không chia hết cho 2.
Hoặc các số lẻ thì không chia hết cho 2.
2/. Dấu hiệu chia hết cho 3 :
Là các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3.
Ví dụ : 726 : 3 vì 7 + 2 + 6 = 15 chia hết cho 3
Chú ý : Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không chia
hết cho 3 đồng thời tổng này chia cho 3 dư bao nhiêu thì số đó chia cho 3 dư
bấy nhiêu.
Ví dụ : Số 5213 không chia hết cho 3 vì 5+2+1+3=11 mà 11:3=3 dư 2
nên số 5213 : 3 = 1737 dư 2.

3/. Dấu hiệu chia hết cho 4 :
NHỮNG SỐ CÓ HAI CHỮ SỐ CUỐI TẠO THÀNH MỘT SỐ CHIA
HẾT CHO 4 THÌ SỐ ĐÓ CHIA HẾT CHO 4.
4/. Dấu hiệu chia hết cho 5 :
Các số có tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
5/. Dấu hiệu chia hết cho 6 :
Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.
Hoặc : Những số chẵn chia hết cho 3 thì chia hết cho 6 và chỉ những
số đó mới chia hết cho 6.
6/. Dấu hiệu chia hết cho 7 :
Lấy chữ số đầu tiên nhân với 3 rồi cộng thêm chữ số tiếp theo, được
bao nhiêu lại nhân với 3 rồi cộng thêm chữ số tiếp theo… cứ như vậy cho
đến chữ số cuối cùng. Nếu kết quả cuối cùng này chia hết cho 7 thì số đó
chia hết cho 7.
Để nhanh gọn, cứ mỗi lần nhân với 3 và cộng thêm chữ số tiếp theo ta
lấy kết quả trừ đi 7 hoặc trừ đi các số là bội số của 7 (14,21…)
7/. Dấu hiệu chia hết cho 8 :
Những số có 3 chữ số cuối tạo thành một số chia hết cho 8 thì chia hết
cho 8.
8/. Dấu hiệu chia hết cho 9 :
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
Chú ý : Các số có tổng không chia hết cho 9 thì không chia hết cho 9
đồng thời tổng này chia cho 9 dư bao nhiêu thì số đó chia cho 9 dư bấy
nhiêu.
9/. Dấu hiệu chia hết cho 11 :
Từ trái sang phải ta coi các chữ số thứ nhất, thứ ba, thứ năm… là chữ
số hàng lẻ, coi các chữ số thứ hai, tứ tư, thứ sáu…là chữ số hàng chẵn.
Những số có tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số hàng lẻ
là một số chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11 và cỉ những số đó mới
chia hết cho 11.
10/. Dấu hiệu chia hết cho 12 :
Những số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4 thì chia hết cho 12.
11/. Dấu hiệu chia hết cho 15 :
Những số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 thì chia hết cho 15.
12/. Dấu hiệu chia hết cho 18 :
Những số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 9 thì chia hết cho 18.

Xem Tiếp

Thuật ngữ Anh văn trong Toán học

By QLamXmaster Tiếng Anh, Toán Leave a Comment

Thuật ngữ Anh văn trong Toán học

1	Index form	dạng số mũ
2	Evaluate	ước tính
3	Simplify	đơn giản
4	Express	biểu diễn, biểu thị
5	Solve	giải
6	Positive	dương
7	Negative	âm
8	Equation	phương trình, đẳng thức
9	Equality	đẳng thức
10	Quadratic equation	phương trình bậc hai
11	Root	nghiệm của phương trình
12	Linear equation (first degree equation)	phương trình bậc nhất
13	Formulae	công thức
14	Algebraic expression	biểu thức đại số
15	Fraction	phân số
16	vulgar fraction	phân số thường
17	decimal fraction	phân số thập phân
18	Single fraction	phân số đơn
19	Simplified fraction	phân số tối giản
20	Lowest term	phân số tối giản
21	Significant figures	chữ số có nghĩa
22	Decimal place	vị trí thập phân, chữ số thập phân
23	Subject	chủ thể, đối tượng
24	Square	bình phương
25	Square root	căn bậc hai
26	Cube	luỹ thừa bậc ba
27	Cube root	căn bậc ba
28	Perimeter	chu vi
29	Area	diện tích
30	Volume	thể tích
31	Quadrilateral	tứ giác
32	Parallelogram	hình bình hành
33	Rhombus	hình thoi
34	Intersection	giao điểm
35	Origin	gốc toạ độ
36	Diagram	biểu đồ, đồ thị, sơ đồ
37	Parallel	song song
38	Symmetry	đối xứng
39	Trapezium	hình thang
40	Vertex	đỉnh
41	Vertices	các đỉnh
42	Triangle	tam giác
43	Isosceles triangle	tam giác cân
44	acute triangle	tam giác nhọn
45	circumscribed triangle	tam giác ngoại tiếp
46	equiangular triangle	tam giác đều
47	inscribed triangle	tam giác nội tiếp
48	obtuse triangle	tam giác tù
49	right-angled triangle	tam giác vuông
50	scalene triangle	tam giác thường
51	Midpoint	trung điểm
52	Gradient of the straight line	độ dốc của một đường thẳng, hệ số góc
53	Distance	khoảng cách
54	Rectangle	hình chữ nhật
55	Trigonometry	lượng giác học
56	The sine rule	quy tắc sin
57	The cosine rule	quy tắc cos
58	Cross-section	mặt cắt ngang
59	Cuboid	hình hộp phẳng, hình hộp thẳng
60	Pyramid	hình chóp
61	regular pyramid	hình chóp đều
62	triangular pyramid	hình chóp tam giác
63	truncated pyramid	hình chóp cụt
64	Slant edge	cạnh bên
65	Diagonal	đường chéo
66	Inequality	bất phương trình
67	Integer number	số nguyên
68	Real number	số thực
69	Least value	giá trị bé nhất
70	Greatest value	giá trị lớn nhất
71	Plus	cộng
72	Minus	trừ
73	Divide	chia
74	Product	nhân
75	prime number	số nguyên tố
76	stated	đươc phát biểu, được trình bày
77	density	mật độ
78	maximum	giá trị cực đại
79	minimum	giá trị cực tiểu
80	consecutive even number	số chẵn liên tiếp
81	odd number	số lẻ
82	even number	số chẵn
83	length	độ dài
84	coordinate	tọa độ
85	ratio	tỷ số, tỷ lệ
86	percentage	phần trăm
87	limit	giới hạn
88	factorise (factorize)	tìm thừa số của một số
89	bearing angle	góc định hướng
90	circle	đường tròn
91	chord	dây cung
92	tangent	tiếp tuyến
93	proof	chứng minh
94	radius	bán kính
95	diameter	đường kính
96	top	đỉnh
97	sequence	chuỗi, dãy số
98	number pattern	sơ đồ số
99	row	hàng
100	column	cột
101	varies directly as	tỷ lệ thuận
102	directly proportional to	tỷ lệ thuận với
103	inversely proportional	tỷ lệ nghịch
104	varies as the reciprocal	nghịch đảo
105	in term of	theo ngôn ngữ, theo
106	object	vật thể
107	pressure	áp suất
108	cone	hình nón
109	blunted cone	hình nón cụt
110	base of a cone	đáy của hình nón
111	transformation	biến đổi
112	reflection	phản chiếu, ảnh
113	anticlockwise rotation	sự quay ngược chiều kim đồng hồ
114	clockwise rotation	sự quay theo chiều kim đồng hồ
115	enlargement	độ phóng đại
116	adjacent angles	góc kề bù
117	vertically opposite angle	góc đối nhau
118	alt.s	góc so le
119	corresp. s	góc đồng vị
120	int. s	góc trong cùng phía
121	ext. of	góc ngoài của tam giác
122	semicircle	nửa đường tròn
123	Arc	cung
124	Bisect	phân giác
125	Cyclic quadrilateral	tứ giác nội tiếp
126	Inscribed quadrilateral	tứ giác nội tiếp
127	Surd	biểu thức vô tỷ, số vô tỷ
128	Irrational number	biểu thức vô tỷ, số vô tỷ
129	Statistics	thống kê
130	Probability	xác suất
131	Highest common factor (HCF)	hệ số chung lớn nhất
132	least common multiple (LCM)	bội số chung nhỏ nhất
133	lowest common multiple (LCM)	bội số chung nhỏ nhất
134	sequence	dãy, chuỗi
135	power	bậc
136	improper fraction	phân số không thực sự
137	proper fraction	phân số thực sự
138	mixed numbers	hỗn số
139	denominator	mẫu số
140	numerator	tử số
141	quotient	thương số
142	ordering	thứ tự, sự sắp xếp theo thứ tự
143	ascending order	thứ tự tăng
144	descending order	thứ tự giảm
145	rounding off	làm tròn
146	rate	hệ số
147	coefficient	hệ số
148	scale	thang đo
149	kinematics	động học
150	distance	khoảng cách
151	displacement	độ dịch chuyển
152	speed	tốc độ
153	velocity	vận tốc
154	acceleration	gia tốc
155	retardation	sự giảm tốc, sự hãm
156	minor arc	cung nhỏ
157	major arc	cung lớn

Hợp Điểm giữ bản quyền tài liệu này.

Xem Tiếp

MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN

By QLamXmaster Toán Leave a Comment

MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN

Tài liệu thêm
I. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT

1.Ðịnh nghĩa:

Trong không gian Oxyz cho một mặt S, phương trình: F(x,y,z) =0 (1) được gọi là phương trình của mặt S nếu điểm M thuộc S khi và chỉ khi tọa độ (x,y,z) của nó thỏa phương trình đó . Ta nói rằng mặt S được xác định bởi phương trình F(x,y,z) = 0 .

Như vậy muốn thiết lập phương trình của một mặt ta phải chuyển từ định nghĩa hình học của nó sang những biểu thức liên quan đến tọa độ của một điểm bất kỳ thuộc mặt .

2.Phương trình tham số :

3.Ví dụ :

4.Mặt đại số :

5.Phương trình mặt trụ :

6.Mặt tròn xoay :

7.Phương trình của đường trong không gian :

II. MẶT TRÒN XOAY BẬC HAI

1.Ðịnh nghĩa :

Mặt tròn xoay bậc hai là mặt tròn xoay nhận được do quay đường bậc hai quanh trục đối xứng của nó.

2.Elipxoit tròn xoay :

3.Mặt nón tròn xoay:

4.Hypeboloit một tầng tròn xoay:

5.Hypeboloit hai tầng tròn xoay:

6.Paraboloit tròn xoay :

III. MẶT BẬC HAI

1. Ðịnh nghĩa phép co:

2.Mặt elipxoit :

Hiển nhiên nếu hai trong ba số a , b , c bằng nhau thì (3) xác định một elipxoit tròn xoay. Nếu a = b = c thì (3) xác định cho ta một mặt cầu.

Dễ dàng thấy rằng nếu ta cắt mặt (3) bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng tọa độ nào đó thì giao tuyến nếu có là một elip.

Một cách tổng quát nếu ta cắt mặt (3) bởi một mặt phẳng thì giao tuyến nếu có là một đường elip. Thật vậy, vì mặt elipxoit là mặt đại số bậc hai nên khi cắt bởi một mặt phẳng ta được một đường đại số bậc hai.Vì mặt elipxoit giới nội nên đường bậc hai đó giới nội vậy nó là đường elip.

3.Mặt nón elip:

4.Mặt hypeboloit một tầng:

5.Mặt hybeboloit hai tầng:

6.Mặt paraboloit eliptic:

7.Mặt paraboloit hypebolic:

8.Mặt trụ elip:

9.Mặt trụ parabol :

10.Mặt trụ hypebol :

11.Cặp mặt phẳng :

BÀI TẬP CHƯƠNG III

Xem Tiếp

Đệ Quy Trong Toán Và Lập Trình

By QLamXmaster Lập trình c, Toán Leave a Comment

Cơ bản về thuật toán đệ quy

1. Đệ quy là gì ?
Một đối tượng được gọi là đệ quy nếu nó được mô tả thông qua định nghĩa của chính nó. Nghĩa là, các đối tượng này được định nghĩa một cách quy nạp từ những khái niệm đơn giản nhất cùng dạng với nó. Trong toán học và tin học có rất nhiều đối tượng như thế.

VD :
- Số tự nhiên được định nghĩa như sau :

0 là một số tự nhiên
Nếu k là một số tự nhiên thì k+1 cũng là một số tự nhiên

Theo đó, ta sẽ có : 1=0+1 là số tự nhiên, 2=1+1 cũng là một số tự nhiên,….Cứ như vậy ta sẽ định nghĩa được các số tự nhiên khác lớn hơn. Do đó, số tự nhiên là khái niệm mang bản chất đệ quy.
- Định nghĩa giai thừa của n (n!) :

Khi n=0, ta có 0!=1
Khi n>0, ta có n!=(n-1)! x n

Như vậy, ta suy ra : 1! = 0! x 1, 2! = 1! x 2,… –> giai thừa cũng là một khái niệm mang tính đệ quy.
2. Bài toán đệ quy
Đó là những bài toán mang bản chất đệ quy. Nghĩa là những bài toán này có thể được phân rã thành các bài toán nhỏ hơn, đơn giản hơn nhưng có cùng dạng với bài toán ban đầu. Những bài toán nhỏ lại được phân rã thành các bài toán nhỏ hơn. Cứ như vậy, việc phân rã chỉ dừng lại khi bài toán con đơn giản đến mức có thể suy ra ngay kết quả mà không cần phải phân rã nữa. Ta phải giải tất cả các bài toán con rồi kết hợp các kết quả đó lại để có được lời giải cho bài toán lớn ban đầu. Cách phân rã bài toán như vậy gọi là “chia để trị” (devide and conquer), là một dạng của đệ quy.
3. Đệ quy trong lập trình
Một hàm được gọi là đệ quy nếu bên trong thân nó có một lời gọi đến chính nó. Nghe có vẻ vô lý nhỉ ? Một hàm làm sao có thể gọi nó mãi được, vì nếu như vậy sẽ sinh ra một vòng lặp vô tận. Nhưng trong thực tế, một hàm đệ quy luôn có điều kiện đừng được gọi là “điểm neo”. Khi đạt tới điểm neo, hàm sẽ không gọi chính nó nữa.
Khi được gọi, hàm đệ quy thường được truyền cho một tham số, thường là kích thước của bài toán lớn ban đầu. Sau mỗi lời gọi đệ quy, tham số sẽ nhỏ dần, nhằm phản ánh bài toán đã nhỏ hơn và đơn giản hơn. Khi tham số đạt tới một giá trị cực tiểu (tại điểm neo), hàm sẽ chấm dứt.
Trong lập trình, một bài toán muốn giải quyết bằng đệ quy thì bản thân nó phải là một bài toán đệ quy. Tức là bài toán đó có thể được đưa về bài toán cùng dạng nhưng đơn giản hơn.
4. Một số bài toán đệ quy kinh điển
a. Bài toán tính giai thừa
Cho n là một số tự nhiên (n>=0). Hãy tính giai thừa của n (n!) biết rằng 0!=1 và n!=(n-1)! x n.
Phân tích :
- Theo giả thiết, ta có : n! = (n-1)! x n. Như vậy :

Để tính n! ta cần phải tính (n-1)!
Để tính (n-1)! ta phải tính (n-2)!
…

- Cứ như vậy, cho tới khi gặp trường hợp 0!. Khi đó ta lập tức có được kết quả là 1, không cần phải tính thông qua một kết quả trung gian khác.
Cài đặt trên C# :
Code

public static long GiaiThua(int n)
{
    if (n == 0) return 1;   //điểm neo
    return n * GiaiThua(n – 1);     //gọi đệ quy
}

- Ở đây, điểm neo chính là n=0. Sau mỗi lời gọi đệ quy, n sẽ giảm xuống 1 cho đến khi gặp điểm neo.
b. Dãy Fibonaci
Dãy Fibonaci là dãy vô hạn các số tự nhiên. Số Fibonaci thứ n, ký hiệu F(n), được định nghĩa như sau :

F(n) = 1, nếu n=1 hoặc n=2
F(n) = F(n-1) + F(n-2), nếu n>=3

c. Bài toán “Tháp Hà Nội” (Tower of Ha Noi)
Đây là một bài toán rất nổi tiếng và kinh điển, rất thích hợp để minh họa cho thuật toán đệ quy. Sau đây là nội dung bài toán :
Có 3 chiếc cọc được đánh dấu lần lượt là A, B, C và n chiếc đĩa. Các đĩa này có kích thước khác nhau và mỗi đĩa đều có một lỗ ở giữa để cắm vào cọc. Ban đầu, các đĩa đều nằm ở cọc A, trong đó, đĩa nhỏ luôn nằm trên đĩa lớn hơn.

Yêu cầu : chuyển n đĩa từ cọc A sang cọc đích C với các điều kiện sau :
+ Mỗi lần chỉ chuyển được 1 đĩa
+ Trong quá trình chuyển, đĩa nhỏ phải luôn nằm trên đĩa lớn hơn.
+ Cho phép sử dụng cọc B làm cọc trung gian
Phân tích : ta sẽ xét các trường hợp của n
- Trường hợp đơn giản nhất, n=1, ta chỉ cần chuyển 1 đĩa từ cọc A sang cọc C.
- Nhiều hơn một chút, n=2, ta chuyển đĩa nhỏ nhất sang cọc B, chuyển đĩa còn lại sang cọc C, và cuối cùng chuyển đĩa nhỏ ở cọc B sang cọc C.
- Bây giờ ta xét n đĩa (n>2). Giả sử ta đã có cách chuyển n-1 đĩa từ một cọc sang một cọc khác. Như vậy, để chuyển n đĩa từ cọc nguồn sang cọc đích, ta cần chuyển n-1 đĩa từ cọc nguồn sang cọc trung gian. Sau đó chuyển đĩa lớn nhất từ cọc nguồn sang cọc đích. Cuối cùng, chuyển n-1 từ cọc trung gian về cọc đích.
Cài đặt bằng C# :
Code

public static void ThapHaNoi(int n, char nguon, char dich, char tgian)
{
    //điểm neo
    if (n == 1) Console.WriteLine(“Chuyen 1 dia tu {0} sang {1}”, nguon, dich);
    else
    {
        //chuyển n-1 đĩa từ cọc nguồn sang cọc trung gian,
        //lấy cọc đích làm cọc phụ
        ThapHaNoi(n – 1, nguon, tgian, dich);
        //chuyển còn lại từ cọc nguồn sang cọc đích
        Console.WriteLine(“Chuyen 1 dia tu {0} sang {1}”, nguon, dich);
        //chuyễn n-1 từ cọc trung gian về cọc đích,
        //lấy cọc nguồn làm cọc trung gian
        ThapHaNoi(n – 1, tgian, dich, nguon);
    }
}

Hàm trên có nhiệm vụ chuyển n đĩa từ cột nguon sang cọc dich, sử dụng cọc tgian làm cọc phụ. Ở đây ta ký hiệu các cột là A, B, C nên ta sẽ dùng kiểu char.
Như vậy, ta đã tìm hiểu xong những điểm cơ bản về đệ quy. Trên đây chỉ là những bài toán đệ quy đơn giản. Còn rất nhiều bài toán và kỹ thuật khác sử dụng phương pháp đệ quy.

Nguồn Internet

Xem Tiếp

Khảo sát hàm số - giải tích 1

By QLamXmaster Giải tích, Toán Leave a Comment

1. Phương trình tham số của đường cong:

Cho hai hàm số: $\left \{ \begin{array}{c} {x = x(t) \qquad (1)} \\{y = y(t) \qquad (2)} \end{array} \right.$

Khi t thay đổi, điểm $\text{M(x(t), y(t))}$ vẽ nên đường cong (C) trong mặt phẳng tọa độ (Oxy).

Nếu từ (1) ta giải được t theo x ( t = t(x)) rồi thế vào (2) thì ta sẽ có phương trình của đường cong (C) : y = f(x).

Các hàm số {(1), (2)} được gọi là phương trình tham số của đường cong (C).

Ví dụ 1: Xét hyperbol (H): ${ \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} =1}$

Vì hiệu bình phương của ${ \dfrac{x}{a}}$ , ${ \dfrac{y}{b}}$ bằng 1, nên có thể coi chúng là cht và sht:

$\dfrac{x}{a} = cht$ , $\dfrac{y}{b} = sht$ , $t \in \mathbb R$

Vậy ta có phương trình tham số của Hyperbol là:

$\fbox {x = a.cht ; y = b.sht}$

Ví dụ 2: Xicloit là quỹ đạo của một điểm M nằm trên một đường tròn bán kính a khi vòng tròn đó lăn không trượt trên một đường thẳng.

Giả sử vòng tròn lăn về phía hướng dương của trục Ox (và lăn trên trục hoành) , vị trí ban đầu của M trùng với gốc tọa độ O.

Khi đó, ta dễ dàng xác định được phương trình tham số của quỹ đạo điểm M là:

$\fbox {x = a.(t \!- sint) \qquad; \qquad y = a.(1 \!- cost)}$

2. Khảo sát đường cong cho bằng tham số:

Việc khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong tham số tiến hành tương tự như đã làm đối với đường cong có phương trình $y = f(x)$ . Gồm các bước sau đây:

Tìm miền xác định, tính chẵn lẻ, tuần hoàn.
Khảo sát và lập bảng biến thiên:
Tính đạo hàm ${ \dfrac{{dy}}{{dx}} = \dfrac{{{y'}_t}}{{{x'}_t}} = \dfrac{\dot{y}}{\dot{x}} } \qquad (3)$
Tìm các giá trị của tham số t sao cho tại đó ít nhất một trong các đạo hàm $\dot{x} = x_{t}^{'}$ hay $\dot{y} = y_{t}^{'}$ triệt tiêu. (nếu tồn tại $t_0$ sao cho $\dot{x}(t_{0}) = x_{t}^{'}(t_0) = 0$ , $\dot{y}(t_{0}) = y_{t}^{'}(t_0) = 0$ thì điểm $M(x_0 , y_0)$ là điểm kỳ dị, với $x_0 = x(t_0) , y_0 = y(t_0)$ ).
Mỗi khoảng $(t_k , t_{k+1})$ tương ứng với khoảng $(x_k , x_{k+1})$ sẽ xác định dấu của y'(x).
Tính đạo hàm cấp 2:
${ \dfrac{d^{2}y}{dx^2}} = { \dfrac{y''(t).x'(t) - x''(t).y'(t)}{{[x'(t)]}^3}} = { \dfrac{{\ddot{y}}.{\dot{x}} - {\ddot{x}}.{\dot{y}}}{{\dot{x}}^3} } \qquad (4)$
Từ (4) ta tìm các giá trị để đạo hàm cấp 2 triệt tiêu, từ đó xác định khoảng lồi, lõm của đường cong.
Tìm tiệm cận của đường cong:
Nếu $lim_{t \to t_0} x(t) = a$ , $\lim_{t \to t_0} y(t) = \infty$ thì x = a là tiệm cận đứng.
Nếu $lim_{t \to t_0} x(t) =$ $\infty$ , $\lim_{t \to t_0} y(t) = b$ thì y = b là tiệm cận ngang.
Nếu khi $t \to t_0$ , $x \to \infty$ , $y \to \infty$ và:
$lim_{t \to t_0} \frac{y(t)}{x(t)} = a$ , $lim_{t \to t_0} [y(t) \! - ax(t) ] = b$
thì y = ax + b là tiệm cận xiên.
3. Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đường cong cho bởi phương trình:
$\left \{ \begin{array}{c} {x = acos^{3}t} \\{y = asin^{3}t} \end{array} \right.$
Các hàm số x(t), y(t) xác định với mọi t.
Nhưng vì các hàm số $acos^{3}t, asin^{3}t$ là các hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 $\pi$ nên ta chỉ cần khảo sát với t nằm trong đoạn [0;2 $\pi$ ].
Do đó, khoảng biến thiên của x là đoạn [-a; a] và khoảng biến thiên của y là đoạn [-a; a].
Vậy đường cong được khảo sát không có tiệm cận.
Xét khoảng biến thiên. Ta có:
$x_t^{'} = -3acos^{2}tsint = 0$ khi $t=0, { \frac{ \pi}{2} }, \pi , { \frac{3 \pi}{2} } ,2\pi$
$y_t^{'} = 3asin^{2}tcost$ khi $t=0, { \frac{ \pi}{2} }, \pi , { \frac{3 \pi}{2} } ,2\pi$
$y_{x}^{'} = -tg t = 0$ khi t = 0, $\pi , 2\pi$ $y_{x}^{'} = \infty$ tại ${ \dfrac{\pi}{2}} , { \dfrac{3\pi}{2}}$

Ta có bảng biến thiên sau:

$\begin{array}{c| c c c c c c c c c} \hline t & 0 & \quad & {\pi}/2 & \quad & {\pi} & \quad & 3{\pi}/2 & \quad & 2{pi} \\ \hline x't & 0 & - & 0 & - & 0 & + & 0 &+ & 0 \\ \hline x & a & \searrow & 0 & \searrow & -a & \nearrow & 0 & \nearrow & a \\ \hline y't & 0 & + & 0 & - & 0 & - & 0 & + & 0 \\ \hline y & 0 & \nearrow & a & \searrow & 0 & \searrow & -a & \nearrow & 0 \\ \hline \ y'x & 0 & - & || & + & 0 & - & || & + & 0 \\ \hline \end{array}$

Tính đạo hàm cấp hai ta có:

$\ddot{y} = 6a.cost.sin^{2}t - 3a.cos^{3}t$

$\ddot{x} = 6a.sint.cos^{2}t - 3a.sin^{3}t$

Do đó:

${ \dfrac{d^{2}y}{dx^2}} = { \dfrac{{\ddot{y}}.{\dot{x}} - {\ddot{x}}.{\dot{y}}}{{\dot{x}}^3} } = { \dfrac{1}{3a.cos^{4}t.sint}}$

Nhận thấy:

Khi $0 < t < \pi$ : thì đường cong lõm

Khi $\pi < t < 2{\pi}$ : thì đường cong lồi

Lại có:

Khi $0 \le t \le {\pi}/2$ : thì $x \ge 0 , y \ge 0$ nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ nhất

Khi ${\pi}/2 \le t \le {\pi}$ : thì $x \le 0 , y \ge 0$ nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ hai.

Khi ${\pi} \le t \le 3.{\pi}/2$ : thì $x \le 0 , y \le 0$ nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ ba.

Khi $3{\pi}/2 \le t \le 2.{\pi}$ : thì $x \ge 0 , y \le 0$ nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ tư.

Từ những dữ liệu trên ta sẽ có đường cong (C) trong mặt phằng là đường màu đỏ trong hình sau:

Phương trình đường cong (C) có được bằng cách lăn đường tròn nhỏ, bán kính a/4 bên tròn đường tròn lớn, bán kính a theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ điểm (1;0)

Xem Tiếp

Share Everything

Dấu hiệu nhận biết số chia hết

Dấu hiệu nhận biết số chia hết cho 2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,15,18

Thuật ngữ Anh văn trong Toán học

Thuật ngữ Anh văn trong Toán học

MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN

MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN

Đệ Quy Trong Toán Và Lập Trình

Cơ bản về thuật toán đệ quy

Khảo sát hàm số - giải tích 1

Search This Blog

Translate

Popular Posts

Labels

Kết nối

Blog Archive

Report Abuse

Total Pageviews

Followers

About Me